Математичне моде­лювання. Урок-презентація 9 клас

ТЕМА УРОКУ. Математичне моде­лювання.

МЕТА: сформувати поняття мате­матичного моделювання, розгля­нути загальне завдання матема­тичного моделювання, показати застосування методу математич­ного моделювання в різних галу­зях життя, розвивати культуру і мислення, виховувати пізнавальний інтерес.

ОБЛАДНАННЯ: плакат з висловом  «Використання математичних моделей у різних науках, багатьох і галузях людської діяльності показало велике значення цього методу для успішного розвитку останніх. А.М. Тихонов.»

Тип уроку: урок засвоєння нових знань

ХІД УРОКУ

Вступне слово вчителя

Сьогодні на уроці ви познайоми­теся з новими поняттями — ме­тодом математичного моделю­вання та математичними моделя­ми, їх будуть презентувати (пред­ставляти) вчений-математик, інженер-конструктор, лікар, еко­лог, економіст та ін. (Називає прізвища учнів, які будуть вести урок). Тож надаємо їм слово.

Математик-соціолог. Слово «мо­дель» у повсякденному житті ви чули неодноразово. Так, у газетах можна прочитати, наприклад, що запропонована модель гри в футбол певної команди вияви­лася результативною або, навпа­ки, не виправдала себе. Моделі можна зустріти в хореографії, віршоскладанні, економіці, ін­женерній справі, архітектурі. Мо­делі літаків, машин, кораблів су­проводжують дитинство кожного хлопчика, а моделі одягу мають особливе значення в житті дів­чаток. Правда, в різних ситуаціях за­мість слова модель говорять «схе­ма», «креслення», «проект» тощо. Однак всі ці поняття мають при­близно один і той же зміст. Він полягає в тому, що якесь складне реальне явище ми замінюємо де­якою спрощеною схемою, ко­пією. Так інженер вивчає і перед­бачає роботу верстата за креслен­нями — моделями верстата. Хо­реограф конструює танець не на сцені, а на папері, де партнери зображуються квадратиками, а партнерші — кружечками. Це схема-модель майбутнього тан­цю. Композитор, створивши ме­лодію, записує її за допомогою нот. Ноти мелодії — це її модель. Особливо велике значення має моделювання в техніці.

Моделюванням називають побу­дову копії (моделі) якогось яви­ща, процесу, об'єкта тощо.

Інженер-конструктор. Я хочу сказати, що в науці і практиці до­бре відомий метод фізичного мо­делювання. Він використовуєть­ся в різних галузях машинобуду­вання, приладобудування, буді­вельній справі. Адже, перш ніж створити нову машину, літак, ко­рабель чи верстат, інженер-кон­структор створює зменшену мо­дель об'єкта, досліджує необхідні параметри його діяльності, вдос­коналює, а потім робить власне об'єкт — машину, літак та ін. Процеси, які відбуваються в та­кій моделі й оригіналі, мають од­наковий характер.

Необхідність створення фізич­них моделей диктується багатьма практичними задачами. Наведу

приклад. Волховську ГЕС буду­вали в місці, де залягав пісок. За правилами гідротехніки, його потрібно було виймати і греблю будувати на гранітній основі. Все це, звичайно, вимагало багато коштів, матеріалів, часу. Під ке­рівництвом відомого інженера Графтіо була створена модель русла річки. За її допомогою дослідили, як змінюватиме поло­ження гребля під тиском води, якщо вона побудована на пі­щаній основі. Одержані виснов­ки мали велике практичне зна­чення. ГЕС була побудована з найменшими витратами.

Учений-математик. Особливу роль у науці та практиці відігра­ють математичні моделі. Що ж таке математична модель?

Роз­глянемо задачу.

 Поживність 1 кг сіна складає 0,42, а силосу — 0,20 кормових одиниць. Сіно містить 85 %, а силос — 27 % сухої речо­вини. Скільки сіна і скільки си­лосу потрібно давати корові на добу, якщо вона повинна отри­мати 6 кормових одиниць і 9 кг сухої речовини?

Розв 'язання.

Нехай раціон корови містить х кг сіна і у кг силосу. То­ді маємо:

0,4х + 0,2у = 6,

 0,85х + 0,27у = 9,       х ≈ 3кг, у ≈ 23кг.

У даній задачі ми мали справу з нематематичними поняттями: сіно, силос, корова, кормові оди­ниці. Це прикладна задача. Щоб її розв'язати, ми склали систему рівнянь. Ця система рівнянь є математичною моделлю даної прикладної задачі.

Моделлю називають спеціально створений об'єкт, який відобра­жає властивості досліджуваного об'єкта.

Математичні моделі створюють з математичних понять і відно­шень: геометричних фігур, чи­сел, функцій, рівнянь, нерівнос­тей, їх систем.

Розв'язування прикладної задачі здійснюється в три етапи:

1.  Створення математичної мо­делі даної задачі (для нашого прикладу — це система двох лінійних рівнянь з двома невідо­мими).

2.  Розв'язування відповідної ма­тематичної задачі.

3.  Аналіз відповіді.

Схематично ці етапи можна зоб­разити так:

 

Тут А — дана прикладна задача, В — її математична модель, С — відповідь для моделі, D — відпо­відь для даної прикладної задачі. Аналіз відповіді є важливим ета­пом розв'язання задачі. Адже бу­ває так, що корінь рівняння, яке є моделлю даної задачі, задоволь­няє рівняння, але не задовольняє умову задачі.

Перехід від А до В — це створення потрібної моделі, тобто процес моделювання. Взагалі, щоб ство­рити модель, треба знати не лише математику, а й ту прикладну га­лузь, про яку йдеться у задачі. За­пам'ятайте, що математичними моделями здебільшого є функції, рівняння, нерівності, системи рівнянь та системи нерівностей. Наприклад, система рівнянь

a₁x + b₁y = c_1,

а₂х+b₂у = с₂

є математичною моделлю-напру­ги в електричному колі (в елект­ротехніці), рівноваги для системи важелів або пружин (у механіці), завантаженості верстатів (у пла­нуванні) та ін.

Функція у = а* є математичною моделлю, яка описує зростання продуктивності праці, зміну ат­мосферного тиску, розмноження бактерій, приріст деревини, на­селення, збільшення вантажо­підйомності транспорту тощо.

Багато моделей описують даний об'єкт наближено. Так, закон всесвітнього тяжіння

F = f ∙(m₁m₂/r² )

є наближеною моделлю руху пла­нет Сонячної системи. Незважа­ючи на її простоту, вона протя­гом багатьох років з величезною точністю відтворювала особли­вості руху планет і навіть допо­могла теоретично передбачити дві невідомі планети — Нептун і Плутон.

Лікар. Математичне моделюван­ня посіло належне місце і в меди­цині. За допомогою математич­них моделей створюються цілі органи людини. Що ж являє со­бою така модель? У найпро­стішому випадку — це формули, частіше — системи з десятків і со­тень рівнянь, нерівностей, які математично виражають діяль­ність окремих органів людини, перебіг біологічних процесів в організмі.

Саме на шляху математичного моделювання вчені вбачають процес визволення людства від багатьох недугів, у тому числі і серцево-судинних захворювань.

А чи можна, не чекаючи спалаху грипу чи іншого інфекційного захворювання, передбачити, ко­ли почнеться епідемія? Так. Учені-медики уже створили ма­тематичну модель грипу. Це фор­мули з кількома десятками інтег­ралів, систем рівнянь, нерівностей. За їх допомогою визначають, коли хвора людина стає особливо небезпечною, яка кількість жи­телів регіону буде охоплена хво­робою і в який період. Такий діагноз дозволяє медикам завчас­но підготувати профілактичні та лікувальні засоби.

В Інституті серцево-судинних за­хворювань створена лабораторія математичного моделювання. Тепер стало можливим створю­вати індивідуальні математичні моделі відповідно до стану здо­ров'я кожного пацієнта і за їх до­помогою лікувати небезпечні хвороби.

Вчений-еколог. Математичні мо­делі знаходять широке застосу­вання в екології. Так, в науково-дослідному Інституті водних про­блем розроблені математичні мо­делі прогнозування якості води в Чорному та Азовському морях. Створені моделі дозволяють передбачити негативні зміни, які загрожують екосистемі цих вод­них басейнів, та вжити своєчасно заходів, що запобігають забруд­ненню та руйнівній експлуатації їх багатств.

Математики й біологи побудува­ли математичні моделі співісну­вання видів, один з яких є хижа­ком відносно іншого. Ця модель являє собою систему двох дифе­ренціальних рівнянь. Досліджен­ня цієї моделі показало, що хи­жак повністю не знищує інший вид. Види співіснують, періодич­но змінюючи свою чисельність. Тому не можна винищувати, на­приклад, вовків. Все в природі має право на життя. Природу тре­ба берегти.

Економіст. Математичні моделі одержали широке застосування  і в економіці. Розглянемо задачу.

 Треба скласти математичну модель заробітної платні робітника здано з відрядно-преміальною ) системою.

Нехай z — заробітна платня, х — кількість виготовленої продук­ції, а — тарифна ставка одиниці продукції, р — премія за переви­конання норми.

Маємо модель:

z = ах + р.

Економіко-математичні моделі дозволяють розв'язувати багато задач, зокрема так званих оптимізаційних задач, які виника­ють у найрізноманітніших видах людської діяльності. Ось одна з таких задач.

У цеху одного із заводів випуска­ють прилади двох видів. Вироб­нича потужність цеху — 100 при­ладів першого виду або 300 друго­го виду. Але відділ технічного контролю в змозі перевірити тільки 150 виробів на добу. Крім того, вироби першого виду вдвічі дорожчі за вироби другого виду. Потрібно скласти такий план ви­пуску продукції, який за даних умов забезпечував би цеху найбільший прибуток. ( Її можна розв’язати на занятті гуртка).

Вчений-кібернетик. Останнім ча­сом у життєвій практиці почало використовуватися імітаційне моделювання. Що ж таке імітаційна модель? Це математична модель з подальшим досліджен­ням та експериментами на ЕОМ. Імітаційне моделювання засто­совується у випадках, коли пря­мий експеримент неможливий. Так, в лабораторії не можна змоделювати атмосферні процеси, зробити термоядерний реактор або штучно відтворити етапи роз­витку Всесвіту. Тут на допомогу приходить імітаційне моделю­вання. Тож, математиками, фізи­ками й біологами були розроб­лені моделі глобальних біосферних процесів, які можуть відбути­ся після ядерної війни. Результа­ти імітаційного моделювання по­казали, що ядерний конфлікт призведе не тільки до загибелі людей від радіації, вибухів, гене­тичних змін. У результаті ядерних вибухів на всій планеті розпоч­нуться самопідтримуючі пожежі. В атмосфері будуть носитися ве­личезні хмари сажі, пилу. Наста­не так звана ядерна ніч. На Землі запанує ядерна зима. Температу­ра знизиться до — 40°-50°. Все жи­ве на Землі зникне.

Тож завдання народів світу — зберегти мир на планеті.

Вчитель. А тепер перевіримо, як ви зрозуміли прослуханий ма­теріал.

 Прошу дати відповіді на запитання:

1.  Де ви зустрічали моделі в по­всякденному житті?

2.  Що таке фізичні моделі (моде­лювання)? Де вони зустріча­ються?

3.  Що таке математична модель?

4.  Де використовується метод математичного моделювання?

5.  Що таке імітаційне моделю­вання? Де воно використову­ється?

А тепер розв'яжемо задачу № 280 (Бевз Г. П. Алгебра 7-9. - К.: Освіта, 1998),

 № 279 - само­стійно.

Завдання додому. № 277, № 278, № 285, § 63.

Підсумок уроку.

УРОК-ПРЕЗЕНТАЦІЯ МЕТОДУ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

Алгебра 9 клас